Энциклопедия Кольера - геометрия элементарная планиметрия

К статье ГЕОМЕТРИЯ Аксиомы и постулаты. Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии. Аксиомы. Аксиомы - это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические. К числу общих аксиом относятся следующие. 1. Равные одному и тому же равны между собой. 2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны. 3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. 4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны. 5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается. 6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны. 7. Целое больше любой своей части. 8. Целое равно сумме своих частей. К числу геометрических аксиом относятся следующие. 1. Через любые две данные точки можно провести только одну прямую. 2. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы. 3. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны). 4. Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Постулаты. Следующие постулаты касаются построений и принимаются за истинные без доказательств. 1. Через любые две данные точки можно провести прямую. 2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке. 3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом. 4. Все прямые углы равны. 5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную. Некоторые геометрические фигуры, построения и заключения. Многие термины, используемые для описания фигур в геометрии, настолько фундаментальны, что определить их не представляется возможным. Все попытки сделать это приводили лишь к замене одних терминов другими, столь же неопределимыми, или к простому описанию некоторых свойств фигур. Например, термин "точка" не поддается определению. Линии. Термин "линия" (или "кривая" в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить прямую линию (рис.1,а) не имели успеха. Многие из этих попыток апеллировали к физическому эксперименту, например, "прямая - это туго натянутая линия". Чаще других приводится описание прямой, предложенное Архимедом: "Прямая - это кратчайшее расстояние между двумя точками". Это "определение", однако, лишь заменяет неопределяемое понятие прямизны столь же неопределяемым понятием расстояния. Предполагается, что прямая бесконечна, т.е. ее можно неограниченно продолжить в обе стороны. Часть прямой называется отрезком. Ломаная (рис.1,б) состоит из прямолинейных отрезков. Кривой (рис.1,в) называется линия, никакая часть которой не является прямой. Как показано на рис.1,г, 1,д и 1,е, прямые могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. Параллельные прямые - это прямые, расстояние между которыми всюду одинаково. На рис.1,г показано, как построить прямую, параллельную данной прямой L и отстоящую от нее на заданное расстояние. Берется окружность, радиус которой равен данному расстоянию. Проводятся две дуги с центрами в двух различных точках прямой L. Прямая, касательная к обеим дугам, и есть та прямая, которую требовалось построить. На рис.1,д показано, как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой L. Порядок, в котором делаются засечки дугами, указаны номерами <первыми следует провести (в любой последовательности) либо дугу 1, либо дугу 1?>. Для проведения дуг 2 и 2? циркуль устанавливается в точки пересечения прямой L дугами 1 и 1? соответственно, радиусы остаются те же самые. Прямая, проходящая через точку Р и точку пересечения дуг 2 и 2?, есть искомый перпендикуляр. Перпендикуляр - это кратчайшая линия, которую можно провести от точки до прямой, на которую он опущен, и расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из нее на прямую. Углы. Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые - сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис.2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис.2,б), а углы больше прямого - тупыми (рис.2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис.2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90?, а угол на рис.2,д содержит больше 180?, но меньше 360?. На рис.2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис.2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90? (рис.2,ж), а смежные углы в сумме дают 180? (рис.2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис.2,и, то углы E, B, C и H равны, и углы F, A, D и G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных - внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис.2,м). На рис.2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA - биссектриса угла. На рис.2,л показано, как удвоить данный угол. Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис.2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P - на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x3 - 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки. Треугольники. Треугольником называется плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник) (рис.3,а, 3,б, 3,в). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон (углы ? и ? на рис.3,б), равны; в равностороннем треугольнике все углы равны. Прямоугольным называется треугольник (рис.3,г), у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой; две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Некоторые соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника мы приведем в обозначениях, указанных на рис.3,д. Знаменитая теорема Пифагора гласит; квадрат длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов длин катетов, или c2 = a2 + b2. Длина перпендикуляра h, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное длин отрезков, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу: Углы внутри треугольника называются внутренними; углы, которые образуются, если стороны треугольника продлить за их вершины, называются внешними (рис.3,е). Сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу. Любой внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не имеющих с ним общей вершины (?D = ?A + ?B). Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, на рис.3,ж отрезок АО составляет 2/3 от длины отрезка АС. Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника (треугольник, вырезанный из однородного по толщине и плотности материала и подвешенный в этой точке, будет находиться в равновесии). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из одной из его вершин на противоположную сторону (или ее продолжение). Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (рис.3,з); биссектрисы всех углов треугольника также пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (рис.3,и) и равноудалена от всех сторон треугольника. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная одной из его сторон, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. На рис.3,к a/b = e/c = f/d. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон, образующих угол. На рис.3,л, если ???????, то c/a = d/b. Два треугольника (любые фигуры) называются равными (или конгруэнтными), если они переводятся друг в друга преобразованиями движения. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. Можно доказать три признака равенства треугольников: два треугольника равны, если 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника;